Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…

• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения уравнение решение Дифференциальное уравнение математика колледж частное решение начальные условия y' + 2y = 4 Новый

Чтобы найти частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5, давайте сначала решим это дифференциальное уравнение.

Уравнение имеет вид:

y' + 2y = 4

Это линейное однородное уравнение первого порядка. Мы можем решить его с помощью метода интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx),

где P(x) - коэффициент при y, в нашем случае P(x) = 2.

Вычислим интеграл:

• ∫2dx = 2x.

Теперь подставим это в формулу для интегрирующего множителя:

• μ(x) = e^(2x).

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Умножим все части уравнения на e^(2x):

e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4e^(2x).

Шаг 3: Приведем левую часть к производной.

Левая часть уравнения теперь является производной:

(e^(2x)y)' = 4e^(2x).

Шаг 4: Интегрируем обе стороны.

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

• ∫(e^(2x)y)'dx = ∫4e^(2x)dx.

Левая часть интеграла просто дает e^(2x)y, а правая часть:

• ∫4e^(2x)dx = 2e^(2x) + C,

где C - произвольная константа.

Таким образом, мы имеем:

e^(2x)y = 2e^(2x) + C.

Шаг 5: Найдем y.

Теперь разделим обе стороны на e^(2x):

y = 2 + Ce^(-2x).

Шаг 6: Используем начальное условие.

Теперь подставим начальное условие y(0) = 5:

5 = 2 + Ce^(0).

5 = 2 + C.

Таким образом, C = 3.

Шаг 7: Запишем общее решение.

Теперь мы можем записать частное решение:

y = 2 + 3e^(-2x).

Итак, частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5:

y = 2 + 3e^(-2x).