Вычислить разность между приращением функции и ее дифференциалом в точке

Другие предметы Колледж Дифференциальное исчисление разность приращения функции дифференциал функции математический анализ колледж вычисление разности точка функции приращение функции Новый

Чтобы вычислить разность между приращением функции и ее дифференциалом в заданной точке, давайте сначала разберем, что такое приращение функции и дифференциал.

Приращение функции в точке x0 для функции f(x) определяется как:

• Δf = f(x0 + Δx) - f(x0),

где Δx - небольшое изменение аргумента x.

Дифференциал функции f(x) в точке x0 обозначается как df и вычисляется по формуле:

• df = f'(x0) * Δx,

где f'(x0) - производная функции в точке x0.

Теперь, чтобы найти разность между приращением функции и ее дифференциалом, нам нужно вычислить:

• R = Δf - df.

Подставим выражения для Δf и df:

• R = (f(x0 + Δx) - f(x0)) - (f'(x0) * Δx).

Теперь давайте рассмотрим, как это выражение может быть интерпретировано. Если Δx стремится к нулю, то:

• Δf будет приближаться к f'(x0) * Δx,
• и разность R будет стремиться к нулю.

Таким образом, разность между приращением функции и ее дифференциалом можно рассматривать как ошибку, которая возникает при линейном приближении функции с использованием ее производной. Эта ошибка называется остатком.

В общем случае, если функция f(x) достаточно гладкая (например, имеет непрерывные производные), то:

• R = o(Δx),

что означает, что R стремится к нулю быстрее, чем Δx, когда Δx стремится к нулю.

Таким образом, разность между приращением функции и ее дифференциалом в точке x0 можно выразить как:

• R = f(x0 + Δx) - f(x0) - f'(x0) * Δx.

Это выражение показывает, насколько хорошо линейное приближение (дифференциал) описывает изменение функции (приращение) в окрестности точки x0.