Похожие вопросы
2025-09-04 17:28:27
Вычислите определенный интеграл ∫ 1 / (1 – 2x)³, при x = -2..0
- 0,24
- 0,4
- 0,008
Другие предметы Колледж Определенные интегралы высшая математика колледж определенный интеграл интегрирование задачи по математике вычисление интегралов математика для колледжа интеграл от функции учебные материалы по математике
2025-09-04 17:28:49
Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ 1 / (1 – 2x)³ dx на интервале от -2 до 0, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем первообразную функции.Для этого применим метод подстановки. Пусть:
- u = 1 - 2x,
- Тогда du = -2 dx, или dx = -du/2.
Теперь, когда мы заменили переменную, нужно также изменить пределы интегрирования:
- При x = -2: u = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5.
- При x = 0: u = 1 - 2(0) = 1.
Теперь можем переписать интеграл:
∫ 1 / (1 - 2x)³ dx = ∫ 1 / u³ (-du/2) = -1/2 ∫ u^(-3) du.
Шаг 2: Вычислим интеграл.Интеграл u^(-3) можно вычислить следующим образом:
- ∫ u^(-3) du = -1/2 * u^(-2) + C.
Таким образом, получаем:
-1/2 * (-1/2 * u^(-2)) = 1/4 * u^(-2) + C = 1/(4u^2) + C.
Шаг 3: Подставим пределы интегрирования.Теперь подставим пределы интегрирования от 5 до 1:
∫ 1 / (1 - 2x)³ dx от -2 до 0 = [1/(4u^2)] от 5 до 1.
Теперь вычислим:
- Подставляем верхний предел: 1/(4 * 1^2) = 1/4.
- Подставляем нижний предел: 1/(4 * 5^2) = 1/(4 * 25) = 1/100.
Теперь вычтем нижний предел из верхнего:
1/4 - 1/100.
Шаг 4: Найдем общий знаменатель и произведем вычитание.Общий знаменатель для 1/4 и 1/100 будет 100:
- 1/4 = 25/100,
- 1/100 = 1/100.
Теперь вычтем:
25/100 - 1/100 = 24/100 = 0.24.
Ответ:Таким образом, значение определенного интеграла ∫ 1 / (1 – 2x)³ dx от -2 до 0 равно 0.24.