Вычислите определенный интеграл ∫ 1 / (1 − 2x)³, x=−2..0

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл математический анализ колледж интегрирование функции расчет интеграла учебные задачи высшая математика примеры интегралов Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ 1 / (1 − 2x)³ dx на интервале от x = -2 до x = 0, мы сначала найдем неопределенный интеграл функции 1 / (1 − 2x)³.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл.

Для этого воспользуемся методом подстановки. Пусть:

• u = 1 - 2x,
• тогда du = -2 dx,
• или dx = -du / 2.

Теперь подставим это в интеграл:

∫ 1 / (1 - 2x)³ dx = ∫ 1 / u³ (-du / 2) = -1/2 ∫ u^(-3) du.

Шаг 2: Вычислим интеграл.

Интеграл u^(-3) можно вычислить следующим образом:

∫ u^(-3) du = -1/2 u^(-2) + C = -1/(2u²) + C.

Теперь подставим обратно u = 1 - 2x:

∫ 1 / (1 - 2x)³ dx = -1/2 * (-1/(2(1 - 2x)²)) + C = 1/(4(1 - 2x)²) + C.

Шаг 3: Найдем определенный интеграл.

Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от -2 до 0:

∫ (от -2 до 0) 1 / (1 - 2x)³ dx = [1/(4(1 - 2x)²)] (от -2 до 0).

Теперь подставим пределы интегрирования:

• Подставляем x = 0:
• 1/(4(1 - 2*0)²) = 1/(4*1²) = 1/4.

• Подставляем x = -2:
• 1/(4(1 - 2*(-2))²) = 1/(4(1 + 4)²) = 1/(4*5²) = 1/(4*25) = 1/100.

Теперь вычтем результаты:

∫ (от -2 до 0) 1 / (1 - 2x)³ dx = (1/4) - (1/100).

Шаг 4: Приведем к общему знаменателю.

Общий знаменатель для 4 и 100 равен 100:

(1/4) = (25/100),

поэтому:

25/100 - 1/100 = 24/100 = 6/25.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ 1 / (1 − 2x)³ dx на интервале от -2 до 0 равно 6/25.