Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 − x)dx, x=0..1

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл математический анализ колледж интегралы вычисление интеграла интеграл от корня интегрирование методы интегрирования учебные задачи по математике Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ √(1 − x) dx на интервале от 0 до 1, следуем следующим шагам:

1. Найдём неопределённый интеграл: Нам необходимо сначала найти неопределённый интеграл функции √(1 − x). Для этого используем замену переменной.
2. Замена переменной: Пусть u = 1 - x, тогда du = -dx, или dx = -du. При этом, когда x = 0, u = 1, и когда x = 1, u = 0.
3. Запишем интеграл в новой переменной: Интеграл преобразуется следующим образом:
• ∫ √(1 − x) dx = ∫ √u (-du) = -∫ √u du.
4. Вычислим интеграл: Теперь мы можем вычислить интеграл -∫ √u du. Интеграл √u равен (2/3)u^(3/2), поэтому:
• -∫ √u du = - (2/3)u^(3/2) + C.
5. Вернёмся к переменной x: Подставляя обратно u = 1 - x, получаем:
• -(2/3)(1 - x)^(3/2) + C.
6. Теперь вычислим определённый интеграл: Мы подставим пределы интегрирования от 0 до 1:
• ∫[0,1] √(1 − x) dx = [-(2/3)(1 - x)^(3/2)] от 0 до 1.
7. Подставим пределы:
• При x = 1: -(2/3)(1 - 1)^(3/2) = -(2/3)(0) = 0.
• При x = 0: -(2/3)(1 - 0)^(3/2) = -(2/3)(1) = -2/3.
8. Вычтем значения: Теперь находим разность:
• 0 - (-2/3) = 2/3.

Таким образом, определённый интеграл ∫ √(1 − x) dx от 0 до 1 равен 2/3.