Похожие вопросы
2025-04-09 19:41:35
Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 - x)dx, x = 0..1
- 1) 2/3
- 2) 1,5
- 3) 2 2/3
- 4) 0
Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика колледж вычисление интеграла интегралы методы интегрирования математический анализ учебные задания примеры интегралов подготовка к экзамену
2025-04-09 19:41:58
Для того чтобы вычислить определенный интеграл ∫ √(1 - x) dx на интервале от 0 до 1, нам нужно сначала найти неопределенный интеграл функции √(1 - x).
Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл.
Интеграл √(1 - x) можно решить с помощью замены переменной. Пусть:
- u = 1 - x,
- тогда du = -dx.
Когда x = 0, u = 1, а когда x = 1, u = 0. Таким образом, пределы интегрирования изменятся.
Теперь перепишем интеграл:
∫ √(1 - x) dx = ∫ √u (-du) = -∫ √u du.
Шаг 2: Интегрируем функцию.
Интеграл √u можно выразить как:
-∫ u^(1/2) du = - (2/3) u^(3/2) + C.
Теперь подставим обратно u = 1 - x:
- (2/3) (1 - x)^(3/2) + C.
Шаг 3: Найдем определенный интеграл от 0 до 1.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл:
∫(от 0 до 1) √(1 - x) dx = [-(2/3) (1 - x)^(3/2)] (от 0 до 1).
Подставим пределы:
- При x = 1: -(2/3) (1 - 1)^(3/2) = -(2/3) * 0 = 0.
- При x = 0: -(2/3) (1 - 0)^(3/2) = -(2/3) * 1 = -(2/3).
Теперь вычтем:
0 - (-(2/3)) = 2/3.
Ответ: Определенный интеграл ∫ √(1 - x) dx от 0 до 1 равен 2/3.
