Вычислите определенный интеграл ∫ 15xdx / (x² – 1)³, при x = 2..4

• 0,4
• 0,8
• 0,5

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика колледж интегралы вычисление интегралов математика для колледжа интеграл от 15x интеграл x² – 1 учебные задачи по математике примеры интегралов Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ (15x) / (x² – 1)³ dx на интервале от x = 2 до x = 4, мы можем воспользоваться методом подстановки или интегрирования по частям. Однако, в данном случае, проще воспользоваться подстановкой.

Шаг 1: Подстановка.

• Пусть u = x² - 1. Тогда du = 2x dx, или dx = du / (2x).
• Теперь выразим x через u: x = √(u + 1).

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования.

• Когда x = 2, u = 2² - 1 = 3.
• Когда x = 4, u = 4² - 1 = 15.

Шаг 3: Подстановка в интеграл.

• Теперь подставляем в интеграл: ∫ (15x) / (x² - 1)³ dx становится ∫ (15√(u + 1)) / (u)³ (du / (2√(u + 1))).
• Упрощаем: ∫ (15 / (2u³)) du = (15/2) ∫ u^(-3) du.

Шаг 4: Вычисление интеграла.

• Интеграл ∫ u^(-3) du = -1/2u².
• Таким образом, (15/2) * (-1/2) * [1/u²] от 3 до 15.

Шаг 5: Подставляем пределы интегрирования.

• Вычисляем: (15/2) * (-1/2) * [1/15² - 1/3²].
• Это равно: (15/2) * (-1/2) * [1/225 - 1/9].
• Упрощаем: 1/9 = 25/225, следовательно, 1/225 - 25/225 = -24/225.
• Теперь, подставляем: (15/2) * (-1/2) * (-24/225).

Шаг 6: Финальное вычисление.

• Упрощаем: (15 * 24) / (2 * 2 * 225) = 360 / 900 = 0.4.

Таким образом, определенный интеграл ∫ (15x) / (x² – 1)³ dx на интервале от x = 2 до x = 4 равен 0.4.