Вычислите определенный интеграл ∫ 15xdx / (x² - 1)³, x=2..4

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл математический анализ интегрирование колледж вычисление интеграла интеграл от 15x x=2..4 методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (15x) / (x² - 1)³ dx на промежутке от x = 2 до x = 4, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Подготовка к интегрированию

Сначала мы можем упростить выражение, которое нужно интегрировать. Здесь мы видим, что в знаменателе стоит выражение (x² - 1)³. Мы можем использовать метод подстановки, чтобы упростить интеграл.

Шаг 2: Подстановка

Пусть u = x² - 1. Тогда, производная du = 2x dx или dx = du / (2x). Теперь нужно выразить x через u:

• Из уравнения u = x² - 1 мы получаем x² = u + 1.
• Следовательно, x = √(u + 1).

Теперь подставим u и dx в наш интеграл:

∫ (15x) / (x² - 1)³ dx = ∫ (15√(u + 1)) / u³ * (du / (2√(u + 1))).

Это упрощается до:

∫ (15/2) * 1/u³ du.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать:

∫ (15/2) * 1/u³ du = (15/2) * (-1/2u²) = -15/(4u²) + C.

Теперь подставим обратно u = x² - 1:

-15/(4(x² - 1)²) + C.

Шаг 4: Обратная подстановка и вычисление определенного интеграла

Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от x = 2 до x = 4:

∫ (15x) / (x² - 1)³ dx от 2 до 4 = [-15/(4(x² - 1)²)] от 2 до 4.

Теперь подставим пределы:

• При x = 4: -15/(4(4² - 1)²) = -15/(4(16 - 1)²) = -15/(4*15²) = -15/(4*225) = -1/60.
• При x = 2: -15/(4(2² - 1)²) = -15/(4(4 - 1)²) = -15/(4*3²) = -15/(4*9) = -5/12.

Теперь вычтем значения:

-1/60 - (-5/12) = -1/60 + 5/12.

Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель, который равен 60:

• -1/60 + 5/12 = -1/60 + 25/60 = 24/60.

Упрощаем дробь:

24/60 = 2/5.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (15x) / (x² - 1)³ dx от 2 до 4 равно 2/5.