Вычислите определенный интеграл

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл вычисление интеграла математика колледж интегралы в математике основы интегрирования Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл, давайте сначала разберем, что такое определенный интеграл и как его вычислять.

Определенный интеграл функции f(x) от a до b обозначается следующим образом:

∫(a до b) f(x) dx

Этот интеграл дает нам площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a, b]. Для его вычисления мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите первообразную функции f(x). Это функция F(x), такая что F'(x) = f(x).
2. Примените теорему о среднем значении интеграла. По этой теореме, определенный интеграл можно вычислить по формуле:

   ∫(a до b) f(x) dx = F(b) - F(a)

3. Подставьте границы интегрирования. Сначала подставьте b в первообразную F(x), затем подставьте a и вычтите второе значение из первого.
4. Упростите результат. Если это возможно, упростите полученное выражение для получения окончательного ответа.

Теперь давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, нам нужно вычислить определенный интеграл:

∫(1 до 3) (2x + 1) dx

Следуя шагам, мы можем решить его:

1. Найдите первообразную: Первообразная функции 2x + 1 равна x^2 + x + C, где C - произвольная константа.
2. Примените теорему о среднем значении: Подставляем границы интегрирования:

   F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12

   F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2

3. Вычислите разность:

   ∫(1 до 3) (2x + 1) dx = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10

4. Окончательный ответ: Площадь под графиком функции (2x + 1) на интервале [1, 3] равна 10.

Таким образом, определенный интеграл ∫(1 до 3) (2x + 1) dx равен 10. Если у вас есть конкретная функция и границы интегрирования, пожалуйста, предоставьте их, и я помогу вам с расчетами!