Вычислите определенный интеграл ∫ 3dx / √(9 – x²), при x = 0..3

1. 3π/2
2. 3
3. π
4. π/2

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика колледж вычисление интегралов интеграл от 3 интеграл √(9 - x²) Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (3dx / √(9 – x²)) от 0 до 3, давайте сначала упростим задачу.

1. Обратите внимание на функцию под интегралом: 3 / √(9 - x²). Мы можем использовать подстановку для упрощения интеграла. Заметим, что 9 - x² можно переписать как 9(1 - (x²/9)). Это напоминает форму, подходящую для тригонометрической подстановки.

2. Используем подстановку: x = 3sin(θ). Тогда dx = 3cos(θ)dθ. При этом, когда x = 0, θ = 0, а когда x = 3, θ = π/2.

3. Подставим x в выражение под квадратным корнем:

• √(9 - x²) = √(9 - 9sin²(θ)) = √(9(1 - sin²(θ))) = √(9cos²(θ)) = 3cos(θ).

4. Теперь подставим все в интеграл:

• ∫ (3dx / √(9 - x²)) = ∫ (3 * 3cos(θ)dθ / 3cos(θ)) = ∫ 3dθ.

5. Теперь вычислим интеграл:

• ∫ 3dθ = 3θ + C.

6. Теперь подставим пределы интегрирования. Мы знаем, что θ меняется от 0 до π/2:

• 3θ | от 0 до π/2 = 3(π/2) - 3(0) = (3π/2).

Таким образом, определенный интеграл ∫ (3dx / √(9 - x²)) от 0 до 3 равен 3π/2.

Ответ: 3π/2.