Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ 4sin³xcosxdx на интервале от x = π/4 до x = π/3, нам сначала нужно упростить интеграл. Мы можем воспользоваться подстановкой и тригонометрическими свойствами.

Шаг 1: Упростим интеграл.

Мы знаем, что sin³x можно представить как (sin²x)sinx. Используя тригонометрическую идентичность sin²x = 1 - cos²x, получаем:

• sin³x = (1 - cos²x)sinx = sinx - sinx*cos²x.

Таким образом, наш интеграл можно переписать как:

• ∫ 4sin³xcosxdx = ∫ 4(sinx - sinx*cos²x)cosxdx.

Шаг 2: Используем подстановку.

Пусть u = sinx, тогда du = cosxdx. Теперь границы интегрирования изменятся:

• Когда x = π/4, u = sin(π/4) = √2/2.
• Когда x = π/3, u = sin(π/3) = √3/2.

Теперь интеграл становится:

• ∫ 4(u - u²) du от √2/2 до √3/2.

Шаг 3: Вычислим интеграл.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

• ∫ 4(u - u²) du = 4(1/2 u² - 1/3 u³) = 2u² - (4/3)u³.

Теперь подставим границы интегрирования:

• 2(√3/2)² - (4/3)(√3/2)³ - [2(√2/2)² - (4/3)(√2/2)³].

Вычислим каждую из частей:

• 2(√3/2)² = 2 * (3/4) = 3/2.
• (4/3)(√3/2)³ = (4/3)(3√3/8) = √3/2.
• 2(√2/2)² = 2 * (2/4) = 1.
• (4/3)(√2/2)³ = (4/3)(√2/8) = (√2/6).

Шаг 4: Подставим и упростим.

Теперь подставим все обратно:

• (3/2 - √3/2) - (1 - √2/6).

Упрощаем:

• 3/2 - √3/2 - 1 + √2/6 = (3/2 - 1) - (√3/2) + (√2/6) = 1/2 - (√3/2) + (√2/6).

Шаг 5: Итоговый ответ.

Таким образом, ответ на определенный интеграл ∫ 4sin³xcosxdx от x = π/4 до x = π/3 равен:

1/2 - (√3/2) + (√2/6).