Вычислите определенный интеграл ∫ 4sin³xcosxdx, x=π/4...π/3

Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл математический анализ колледж вычисление интеграла sin3x cosX π/4 π/3 Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ 4sin³xcosxdx от x=π/4 до x=π/3, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Подстановка: Заметим, что в нашем интеграле присутствует выражение sin³x и cosx. Мы можем использовать подстановку u = sin(x). Тогда производная du = cos(x)dx.
2. Изменение пределов интегрирования: При подстановке изменятся и пределы интегрирования:
   • Когда x = π/4, u = sin(π/4) = √2/2.
   • Когда x = π/3, u = sin(π/3) = √3/2.
3. Переписывание интеграла: Теперь мы можем переписать интеграл в терминах u:
   • sin³x = u³,
   • cos(x)dx = du.
   Таким образом, наш интеграл становится: ∫ 4u³ du от u = √2/2 до u = √3/2.
4. Вычисление интеграла: Теперь мы можем вычислить интеграл: ∫ 4u³ du = 4 * (u^4)/4 = u^4.
5. Подстановка пределов: Теперь подставим пределы интегрирования:
   • Подставляем верхний предел: (√3/2)⁴ = 9/16.
   • Подставляем нижний предел: (√2/2)⁴ = 4/16.
   Теперь находим разность: 9/16 - 4/16 = 5/16.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ 4sin³xcosxdx от x=π/4 до x=π/3 равно 5/16.