Вычислите определенный интеграл ∫ √(6x - 2)dx, x=1..3

Другие предметы Колледж Определенные интегралы математический анализ определенный интеграл вычисление интеграла интеграл √(6x - 2) интегралы колледж учебник по математическому анализу задачи по интегралам Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ √(6x - 2) dx на интервале от x=1 до x=3, мы будем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдем первообразную функции √(6x - 2).

Для этого используем метод подстановки. Положим:

• u = 6x - 2,
• тогда du/dx = 6, или du = 6 dx,
• отсюда dx = du/6.

Теперь изменим пределы интегрирования:

• Когда x = 1, u = 6*1 - 2 = 4;
• Когда x = 3, u = 6*3 - 2 = 16.

Теперь подставим все это в интеграл:

∫ √(u) * (du/6) = (1/6) ∫ √(u) du.

Шаг 2: Вычислим интеграл ∫ √(u) du.

Интеграл √(u) можно записать как u^(1/2). Используя правило интегрирования, получаем:

∫ u^(1/2) du = (u^(3/2))/(3/2) = (2/3) u^(3/2).

Таким образом:

(1/6) ∫ √(u) du = (1/6) * (2/3) u^(3/2) = (1/9) u^(3/2).

Шаг 3: Подставим пределы интегрирования.

Теперь подставим пределы u = 4 и u = 16:

(1/9) [16^(3/2) - 4^(3/2)].

Шаг 4: Вычислим значения.

Сначала найдем 16^(3/2):

• 16^(3/2) = (16^1/2)^3 = 4^3 = 64.

Теперь найдем 4^(3/2):

• 4^(3/2) = (4^1/2)^3 = 2^3 = 8.

Теперь подставим эти значения в выражение:

(1/9) [64 - 8] = (1/9) * 56 = 56/9.

Ответ:

Определенный интеграл ∫ √(6x - 2) dx от x=1 до x=3 равен 56/9.