Вычислите определенный интеграл ∫ dx / ∛(x²), при x = 1..2

1. 3(∛2 − 1)
2. √2 − 1
3. 1

Другие предметы Колледж Определенные интегралы высшая математика колледж определенный интеграл вычисление интегралов математика для колледжа интегралы в высшей математике учебные материалы по математике Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ dx / ∛(x²) от 1 до 2, начнем с нахождения неопределенного интеграла.

1. Запишем интеграл:

∫ dx / ∛(x²) = ∫ x^(-2/3) dx

2. Теперь применим правило интегрирования:

• Формула интегрирования x^n: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, при n ≠ -1.

В нашем случае n = -2/3. Подставим это в формулу:

∫ x^(-2/3) dx = (x^(1/3))/(1/3) + C = 3x^(1/3) + C

3. Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 2:

∫[1, 2] dx / ∛(x²) = [3x^(1/3)] от 1 до 2

4. Подставляем верхний предел:

3(2^(1/3)) = 3∛2

5. Подставляем нижний предел:

3(1^(1/3)) = 3

6. Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

3∛2 - 3

Таким образом, мы получили значение определенного интеграла:

∫[1, 2] dx / ∛(x²) = 3∛2 - 3

Теперь сравним с выражением, которое нам дано в задаче: 3(∛2 − 1)√2 − 11.

7. Раскроем скобки в выражении:

3(∛2 − 1)√2 = 3∛2√2 - 3√2

8. Теперь подставим это в выражение:

3∛2√2 - 3√2 - 11

9. Чтобы сравнить два выражения, нам нужно упростить их, но видно, что они имеют разные формы.

Таким образом, итоговое значение определенного интеграла:

∫[1, 2] dx / ∛(x²) = 3∛2 - 3.

Ответ: 3∛2 - 3.