Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ eˣ dx / (eˣ + 5) на интервале от 0 до 1, давайте разберем его пошагово.

Шаг 1: Подстановка

Для упрощения интеграла мы можем использовать подстановку. Обозначим:

• u = eˣ + 5

Тогда, чтобы выразить dx через du, найдем производную:

• du/dx = eˣ
• dx = du / eˣ

Теперь выразим eˣ:

• eˣ = u - 5

Подставляя это в выражение для dx, получаем:

• dx = du / (u - 5)

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

Теперь изменим пределы интегрирования в соответствии с нашей подстановкой:

• Когда x = 0, u = e^0 + 5 = 1 + 5 = 6
• Когда x = 1, u = e^1 + 5 = e + 5

Шаг 3: Замена в интеграле

Теперь подставим все в интеграл:

• ∫ (eˣ / (eˣ + 5)) dx = ∫ (1 / u) (du / (u - 5))

Таким образом, интеграл становится:

• ∫ (1 / u(u - 5)) du

Шаг 4: Разложение на простейшие дроби

Теперь разложим дробь 1 / (u(u - 5)) на простейшие дроби:

• 1 / (u(u - 5)) = A/u + B/(u - 5)

Умножим обе стороны на u(u - 5) и найдем A и B:

• 1 = A(u - 5) + Bu

Приравниваем коэффициенты:

• Для u: A + B = 0
• Для свободного члена: -5A = 1

Решая систему, получаем:

• A = -1/5
• B = 1/5

Шаг 5: Интегрирование

Теперь можем записать интеграл:

• ∫ (-1/5)(1/u) du + ∫ (1/5)(1/(u - 5)) du

Интегрируя, получаем:

• = -1/5 ln|u| + 1/5 ln|u - 5| + C

Шаг 6: Подстановка обратно

Теперь подставим обратно u = eˣ + 5:

• = -1/5 ln|eˣ + 5| + 1/5 ln|eˣ + 5 - 5| + C

Это упрощается до:

• = -1/5 ln(eˣ + 5) + 1/5 ln(eˣ) + C

Шаг 7: Определенный интеграл

Теперь подставим пределы интегрирования от 6 до e + 5:

• = [-1/5 ln(e + 5) + 1/5 ln(e)] - [-1/5 ln(6) + 1/5 ln(1)]

Поскольку ln(1) = 0, это упрощается до:

• = -1/5 ln(e + 5) + 1/5 ln(e) + 1/5 ln(6)

Шаг 8: Подсчет конечного результата

Теперь можем выразить конечный результат:

• = 1/5 (ln(6) - ln(e + 5) + ln(e))

Таким образом, окончательный ответ для определенного интеграла:

• 1/5 ln((6e) / (e + 5))

Это и есть результат вычисления определенного интеграла ∫ eˣ dx / (eˣ + 5) на интервале от 0 до 1.