Похожие вопросы
2025-09-04 17:26:23
Вычислите определенный интеграл ∫ √(x)dx, при x = 1..4
- 4 2/3
- 2 2/3
- 2
Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика колледж вычисление интегралов интеграл √(x)dx математический анализ учебные задачи по математике
2025-09-04 17:26:40
Для вычисления определенного интеграла ∫ √(x) dx от 1 до 4, нам нужно сначала найти неопределенный интеграл функции √(x).
Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл.
- Функция √(x) может быть переписана как x^(1/2).
- Используем правило интегрирования для степенной функции: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.
- В нашем случае n = 1/2, поэтому:
∫ x^(1/2) dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = (x^(3/2))/(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C.
Шаг 2: Теперь вычислим определенный интеграл от 1 до 4.
- Мы подставим пределы интегрирования в найденный неопределенный интеграл:
∫(от 1 до 4) √(x) dx = [(2/3)x^(3/2)] от 1 до 4.
Шаг 3: Подставляем верхний предел (x = 4).
(2/3)(4^(3/2)) = (2/3)(4 * 2) = (2/3)(8) = 16/3.
Шаг 4: Теперь подставим нижний предел (x = 1).
(2/3)(1^(3/2)) = (2/3)(1) = 2/3.
Шаг 5: Вычисляем разность значений.
Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
∫(от 1 до 4) √(x) dx = (16/3) - (2/3) = (16 - 2)/3 = 14/3.
Ответ: Определенный интеграл ∫ √(x) dx от 1 до 4 равен 14/3.