Похожие вопросы
2025-09-04 17:27:46
Вычислите определенный интеграл ∫ (x² – 1)³xdx, при x = 1..2
- 10 1/8
- 26
- 1
Другие предметы Колледж Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика колледж интегрирование вычисление интеграла интеграл x² – 1 математический анализ учебные задачи подготовка к экзаменам
2025-09-04 17:28:05
Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (x² – 1)³ x dx на интервале от x = 1 до x = 2, мы будем следовать нескольким шагам.
Шаг 1: Найдем неопределенный интегралСначала мы найдем неопределенный интеграл функции (x² – 1)³ x. Для этого мы можем использовать метод подстановки.
- Обозначим u = x² – 1. Тогда, дифференцируя, получаем du/dx = 2x, или du = 2x dx, отсюда x dx = (1/2) du.
- Теперь преобразуем интеграл:
- ∫ (x² – 1)³ x dx = ∫ u³ (1/2) du = (1/2) ∫ u³ du.
- Интегрируем u³: ∫ u³ du = (1/4) u⁴ + C.
- Подставляем обратно u = x² – 1: (1/2) * (1/4) (x² – 1)⁴ + C = (1/8) (x² – 1)⁴ + C.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 1 до 2:
- ∫ (x² – 1)³ x dx от 1 до 2 = [(1/8) (x² – 1)⁴] от 1 до 2.
- Сначала подставим верхний предел (x = 2):
- (1/8) ((2² – 1)⁴) = (1/8) (3⁴) = (1/8) * 81 = 10.125.
- Теперь подставим нижний предел (x = 1):
- (1/8) ((1² – 1)⁴) = (1/8) (0⁴) = 0.
Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
- 10.125 - 0 = 10.125.
Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (x² – 1)³ x dx от 1 до 2 равно 10.125.