Рассмотрим предел, который часто встречается в математическом анализе и является классическим примером:

Предел функции:

lim (x -> 0) (sin(x) / x)

Этот предел равен 1. Давайте подробно разберем, как его можно вычислить.

Шаги решения:

1. Подстановка значения: Если мы подставим x = 0 в выражение sin(x) / x, то получим 0/0, что является неопределённой формой.
2. Использование правила Лопиталя: Для решения неопределенной формы 0/0 мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x)/g(x) при x стремящемся к a равен 0/0 или бесконечности/бесконечности, то:
   • lim (x -> a) (f(x)/g(x)) = lim (x -> a) (f'(x)/g'(x)),при условии, что этот предел существует.
3. Найдем производные: В нашем случае f(x) = sin(x) и g(x) = x. Найдем их производные:
   • f'(x) = cos(x)
   • g'(x) = 1
4. Вычисляем новый предел: Теперь можем вычислить новый предел:

   lim (x -> 0) (sin(x) / x) = lim (x -> 0) (cos(x) / 1) = cos(0) = 1.

Таким образом, мы пришли к выводу, что:

lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1.

Этот предел является важным в математическом анализе и часто используется в различных приложениях, например, в производных и интегралах.