Вывести 1 замечательный предел:

Другие предметы Колледж Пределы функций предел математический анализ колледж вычисление предела примеры пределов основы пределов Новый

Давайте рассмотрим замечательный предел, который часто используется в математическом анализе. Это предел, связанный с функцией экспоненты:

Предел: lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1

Теперь давайте подробно разберем, как мы можем его получить.

1. Определение предела: Мы хотим выяснить, что происходит с отношением sin(x) / x, когда x стремится к 0.
2. Графический подход: Мы можем нарисовать графики функции sin(x) и функции y = x. При x = 0 обе функции равны 0, и мы можем увидеть, что sin(x) приближается к x, когда x стремится к 0.
3. Использование разложения в ряд Тейлора: Мы можем воспользоваться разложением функции sin(x) в ряд Тейлора около точки 0:
   • sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
4. Подстановка в предел: Теперь подставим это разложение в наш предел:
   • lim (x -> 0) (sin(x) / x) = lim (x -> 0) (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) / x
   • Это упрощается до: lim (x -> 0) (1 - x^2/3! + x^4/5! - ...)
5. Вычисление предела: Когда x стремится к 0, все члены, содержащие x, стремятся к 0, и мы получаем:
   • lim (x -> 0) (1 - x^2/3! + x^4/5! - ...) = 1

Таким образом, мы доказали, что:

lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1

Этот предел является основным и очень важным в математическом анализе, так как он используется в различных областях, включая дифференциальное и интегральное исчисление.