Чтобы вычислить определенный интеграл ∫(1 + √x)√x dx от 0 до 1, начнем с упрощения интегрируемой функции.

Сначала перепишем интеграл:

∫(1 + √x)√x dx = ∫(√x + x) dx

Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

∫(√x + x) dx = ∫√x dx + ∫x dx

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.

• ∫√x dx: Это интеграл x^(1/2). Используем формулу интегрирования:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 1/2:

∫√x dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) = (x^(3/2))/(3/2) = (2/3)x^(3/2).

• ∫x dx: Это интеграл x^1:

∫x dx = (x^(1 + 1))/(1 + 1) = (x^2)/2.

Теперь подставим результаты обратно в наш интеграл:

∫(1 + √x)√x dx = (2/3)x^(3/2) + (1/2)x^2 + C.

Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от 0 до 1:

∫[0, 1] (√x + x) dx = [(2/3)x^(3/2) + (1/2)x^2] от 0 до 1.

Теперь подставим верхний предел (1):

• Для x = 1: (2/3)(1^(3/2)) + (1/2)(1^2) = (2/3)(1) + (1/2)(1) = 2/3 + 1/2.

Теперь найдем общий знаменатель для 2/3 и 1/2:

• Знаменатель будет 6:
• 2/3 = 4/6
• 1/2 = 3/6

Теперь складываем:

4/6 + 3/6 = 7/6.

Теперь подставим нижний предел (0):

• Для x = 0: (2/3)(0) + (1/2)(0) = 0.

Теперь вычтем значение нижнего предела из верхнего:

7/6 - 0 = 7/6.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫[0, 1] (1 + √x)√x dx равно 7/6.