Похожие вопросы
2025-03-05 06:04:09
Вычислите определенный интеграл ∫ 3dx / √(9 - x²), x=0..3
Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл математический анализ университет интегралы вычисление интегралов функции пределы x=0..3 интеграл от 3 √(9 - x²)
2025-07-19 13:45:24
Для вычисления данного определенного интеграла ∫ 3dx / √(9 - x²) от x=0 до x=3, мы можем использовать тригонометрическую замену. Давайте подробно рассмотрим шаги решения:
-
Выбор тригонометрической замены:
Заметим, что подкоренное выражение напоминает форму 9 - x², которая подходит для замены x = 3sin(t). Это связано с тем, что 1 - sin²(t) = cos²(t), и √(9 - x²) преобразуется в √(9 - 9sin²(t)) = √(9cos²(t)) = 3cos(t).
-
Найти dx:
Если x = 3sin(t), то производная dx/dt = 3cos(t). Следовательно, dx = 3cos(t)dt.
-
Преобразование пределов интегрирования:
- Когда x = 0, sin(t) = 0, значит t = 0.
- Когда x = 3, sin(t) = 1, значит t = π/2.
-
Подстановка в интеграл:
Теперь интеграл преобразуется следующим образом:
∫ 3dx / √(9 - x²) = ∫ (3 * 3cos(t)dt) / 3cos(t) = ∫ 3dt.
-
Вычисление интеграла:
Теперь интеграл ∫ 3dt от t=0 до t=π/2 становится простым:
∫ 3dt = 3t.
Подставляем пределы интегрирования:
3t | от 0 до π/2 = 3(π/2) - 3(0) = 3π/2.
Таким образом, значение определенного интеграла ∫ 3dx / √(9 - x²) от x=0 до x=3 равно 3π/2.
