Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ 2π(1 + x²)dx на интервале от x=1 до x=2, следуем следующим шагам:

1. Определим интеграл: Начнем с того, что мы можем вынести постоянный множитель 2π за знак интеграла:
• ∫ 2π(1 + x²)dx = 2π ∫ (1 + x²)dx
2. Вычислим неопределенный интеграл: Теперь найдем неопределенный интеграл ∫ (1 + x²)dx:
• ∫ (1 + x²)dx = ∫ 1dx + ∫ x²dx
• ∫ 1dx = x
• ∫ x²dx = (x³)/3
• Следовательно, ∫ (1 + x²)dx = x + (x³)/3 + C, где C - константа интегрирования.
3. Подставим пределы интегрирования: Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 2:
• ∫ (1 + x²)dx от 1 до 2 = [x + (x³)/3] от 1 до 2
• Теперь вычислим это значение:
• Подставляем x=2: 2 + (2³)/3 = 2 + 8/3 = 2 + 2.67 = 8/3 + 6/3 = 14/3
• Подставляем x=1: 1 + (1³)/3 = 1 + 1/3 = 1 + 0.33 = 4/3
• Теперь находим разность: (14/3) - (4/3) = (14 - 4)/3 = 10/3
4. Умножим на 2π: Не забываем, что мы вынесли 2π перед интегралом:
• Итак, 2π * (10/3) = (20π)/3

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ 2π(1 + x²)dx от x=1 до x=2 равно (20π)/3.