Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), x=0..3

Другие предметы Университет Определенные интегралы математический анализ университет определенный интеграл вычисление интеграла интеграл 2xdx интеграл от 0 до 3 √(16 + x²) математические задачи высшая математика учебные материалы Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ (2x / √(16 + x²)) dx на интервале от x = 0 до x = 3, мы можем воспользоваться методом подстановки.

Шаг 1: Подбор подстановки.

Заметим, что в нашем интеграле присутствует выражение √(16 + x²). Мы можем использовать тригонометрическую подстановку, так как 16 + x² можно представить в виде 16(1 + (x/4)²). Однако, проще будет использовать следующую подстановку:

• Пусть u = 16 + x².
• Тогда du = 2x dx, что означает, что dx = du / (2x).

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования.

Теперь изменим пределы интегрирования. Когда x = 0, u = 16 + 0² = 16. Когда x = 3, u = 16 + 3² = 16 + 9 = 25.

Шаг 3: Подстановка в интеграл.

Теперь подставим все в интеграл:

• Интеграл становится ∫ (1 / √u) du с пределами от u = 16 до u = 25.

Шаг 4: Вычисление интеграла.

Интеграл ∫ (1 / √u) du равен 2√u. Теперь подставим пределы интегрирования:

• При u = 25: 2√25 = 2 * 5 = 10.
• При u = 16: 2√16 = 2 * 4 = 8.

Шаг 5: Находим значение определенного интеграла.

Теперь вычтем значение интеграла на нижнем пределе от значения на верхнем пределе:

10 - 8 = 2

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (2x / √(16 + x²)) dx на интервале от 0 до 3 равно 2.