Вычислите определенный интеграл ∫ (x² − 1)³xdx, x=1..2

Другие предметы Университет Определенные интегралы математический анализ определенный интеграл интеграл x² − 1 вычисление интеграла университет математические методы интегральное исчисление Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (x² − 1)³ x dx на интервале от 1 до 2, мы можем использовать метод подстановки.

Шаг 1: Определим подстановку. Пусть u = (x² − 1). Тогда производная du/dx = 2x, что означает, что du = 2x dx или dx = du/(2x).

Шаг 2: Заменим переменные в интеграле. Мы также должны выразить x через u. Из уравнения u = x² − 1 мы можем выразить x² = u + 1, и следовательно x = √(u + 1).

Шаг 3: Теперь заменим пределы интегрирования. Когда x = 1, u = 1² − 1 = 0. Когда x = 2, u = 2² − 1 = 3.

Шаг 4: Подставим все в интеграл:

• Интеграл становится: ∫ (u)³ (√(u + 1)) (du/(2√(u + 1))).
• Упрощаем: ∫ (u)³ (1/2) du.

Шаг 5: Теперь интегрируем:

• ∫ (1/2) u³ du = (1/2) * (u⁴/4) = (u⁴/8).

Шаг 6: Подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

• Вычисляем: (3⁴/8) - (0⁴/8) = (81/8) - 0 = 81/8.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (x² − 1)³ x dx на интервале от 1 до 2 равно 81/8.