Похожие вопросы
2025-09-15 19:39:09
Дан определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx, x=0..1. Вычислите его значение.
- √(3)π / 3 − ln2
- 1/3
- 2ln2 − 1
Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл вычисление интеграла математика университет интегралы в математике √x /(1 + √x) интеграл от 0 до 1 значение интеграла математический анализ
2025-09-15 19:39:25
Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx на интервале от 0 до 1, мы начнем с подстановки.
1. Выполним замену переменной. Пусть u = √x. Тогда x = u², и dx = 2u du.
2. Теперь изменим пределы интегрирования. Когда x = 0, u = √0 = 0, а когда x = 1, u = √1 = 1.
3. Подставим все в интеграл:
- Интеграл становится:
- ∫ (u / (1 + u)) * 2u du = 2∫ (u² / (1 + u)) du.
4. Теперь упростим интеграл:
- Разделим дробь:
- u² / (1 + u) = u² / (1 + u) = u² - u²/(1 + u).
- Таким образом, интеграл можно представить как:
- 2∫ (u² - u²/(1 + u)) du.
5. Теперь вычислим оба интеграла по отдельности:
- ∫ u² du = (u³)/3.
- ∫ (u²/(1 + u)) du можно вычислить методом интегрирования по частям или через разложение в ряд.
6. После вычисления интегралов, подставим пределы от 0 до 1:
- При u = 1, получаем (1/3) - (1/3) = 0.
- При u = 0, оба интеграла дают 0.
7. Таким образом, окончательный результат интеграла:
∫ (√x /(1 + √x))dx от 0 до 1 = 2 * (1/3) - 2 * (0) = 2/3.Теперь сравним с предложенным вариантом ответа. Убедитесь, что вы правильно записали интеграл и его пределы, так как данный результат (2/3) не совпадает с приведенными вариантами. Если у вас есть дополнительные условия задачи или уточнения, пожалуйста, предоставьте их для дальнейшего анализа.