Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx от 0 до 1, давайте сначала упростим интеграл с помощью подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Рассмотрим подстановку:

u = √x, тогда x = u² и dx = 2u du.

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

• Когда x = 0, u = √0 = 0.
• Когда x = 1, u = √1 = 1.

Теперь интеграл принимает вид:

∫ (u / (1 + u)) * (2u) du от 0 до 1.

Это можно записать как:

2 ∫ (u² / (1 + u)) du от 0 до 1.

Шаг 3: Упрощение интеграла

Теперь упростим интеграл:

2 ∫ (u² / (1 + u)) du = 2 ∫ (u² / (1 + u)) du.

Мы можем разложить дробь:

u² / (1 + u) = u² * (1 - (1 - 1/(1 + u))) = u² - u²/(1 + u).

Таким образом, интеграл можно разбить на два:

2 ∫ (u² - u²/(1 + u)) du = 2 ∫ u² du - 2 ∫ (u²/(1 + u)) du.

Шаг 4: Вычисление интегралов

Первый интеграл:

∫ u² du = (u³)/3.

Тогда 2 ∫ u² du от 0 до 1 = 2 * [1/3 - 0] = 2/3.

Теперь второй интеграл ∫ (u²/(1 + u)) du. Для этого можно использовать метод интегрирования по частям или разложение в ряд.

Однако, для простоты, мы можем воспользоваться стандартной формулой:

∫ (u²/(1 + u)) du = u² - 2u + 2ln(1 + u).

Тогда подставляя пределы от 0 до 1, мы получаем:

∫ (u²/(1 + u)) du от 0 до 1 = [1 - 2 + 2ln(2)] - [0] = -1 + 2ln(2).

Шаг 5: Объединение результатов

Теперь подставим результаты обратно:

2 ∫ u² du - 2 ∫ (u²/(1 + u)) du = 2/3 - 2(-1 + 2ln(2)) = 2/3 + 2 - 4ln(2).

Итак, окончательный результат:

2/3 + 2 - 4ln(2).

Теперь, если мы сравним с вашим ответом, то мы можем заметить, что:

√(3)π / 3 − ln(21/32ln2 − 1) может быть преобразован, чтобы сопоставить с полученным значением, но это требует дополнительных преобразований и проверки.

Ответ: Значение интеграла ∫ (√x /(1 + √x))dx от 0 до 1 равно 2/3 + 2 - 4ln(2).