Для того чтобы найти производную функции y = x² ⋅ sin(2x), нам потребуется применить несколько правил дифференцирования. Давайте разберем это шаг за шагом:

1. Производная произведения. У нас есть произведение двух функций: x² и sin(2x). Для нахождения производной такого произведения используется правило производной произведения, которое гласит: если y = u(x) * v(x), то y' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
2. Производная сложной функции. Вторая функция, sin(2x), является сложной функцией, потому что аргумент синуса — это не просто x, а 2x. Для нахождения производной сложной функции используется правило цепочки: если у нас есть функция g(f(x)), то производная будет g'(f(x)) * f'(x).

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. Обозначим u(x) = x² и v(x) = sin(2x). Тогда производная y по x будет:
• u'(x) = 2x (производная x²).
• v(x) = sin(2x) — здесь потребуется применить правило цепочки:
• g(x) = sin(x), тогда g'(x) = cos(x).
• f(x) = 2x, тогда f'(x) = 2.
• Таким образом, v'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).
2. Подставляем в формулу производной произведения:
• y' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = 2x * sin(2x) + x² * 2cos(2x).
• Упрощаем выражение: y' = 2x sin(2x) + 2x² cos(2x).

Таким образом, чтобы найти производную данной функции, следует применить как производную произведения, так и производную сложной функции. Ответ: следует применить производную произведения и сложной функции.