Производная сложной функции y=(x^3 +5*x^2 -3)^1/2 имеет вид ...

Другие предметы Университет Производные функций производная сложной функции математика университет производная y=(x^3 +5*x^2 -3)^1/2 вычисление производной правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции ( y = \sqrt{x^3 + 5x^2 - 3} ), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Разберем все шаги подробно:

Шаг 1: Запишем функцию

Наша функция имеет вид: \( y = (x^3 + 5x^2 - 3)^{1/2} \).

Шаг 2: Применяем правило дифференцирования сложной функции

Правило сложной функции гласит, что если функция имеет вид \( y = f(g(x)) \), то её производная вычисляется как:

\( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

В данном случае:

• \( f(u) = u^{1/2} \), где \( u = g(x) = x^3 + 5x^2 - 3 \).

Шаг 3: Найдем производную внешней функции \( f(u) = u^{1/2} \)

Производная \( f(u) = u^{1/2} \) равна:

\( f'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \).

Подставляем \( u = x^3 + 5x^2 - 3 \):

\( f'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \).

Шаг 4: Найдем производную внутренней функции \( g(x) = x^3 + 5x^2 - 3 \)

Производная \( g(x) \) равна:

\( g'(x) = 3x^2 + 10x \).

Шаг 5: Собираем производную по правилу цепочки

Теперь умножаем производную внешней функции на производную внутренней функции:

\( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \cdot (3x^2 + 10x) \).

Шаг 6: Записываем окончательный ответ

Производная функции:

\( y' = \frac{3x^2 + 10x}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \).

Это и есть окончательный вид производной.