Дана функция: z=x2-2xy2+y3. Найдите частные производные второго порядка для этой функции.

Другие предметы Университет Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция математика университет z=x2-2xy2+y3 второй порядок математический анализ Новый

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = x² - 2xy² + y³, нам сначала нужно найти частные производные первого порядка по переменным x и y. Затем мы будем вычислять частные производные второго порядка.

Шаг 1: Находим частные производные первого порядка.

• Частная производная по x:

Для нахождения частной производной z по x, мы рассматриваем y как постоянную:

• z = x² - 2xy² + y³
• dz/dx = 2x - 2y²
• Частная производная по y:

Теперь находим частную производную z по y, рассматривая x как постоянную:

• z = x² - 2xy² + y³
• dz/dy = -4xy + 3y²

Шаг 2: Находим частные производные второго порядка.

• Частная производная второго порядка по x:

Теперь найдем частную производную dz/dx по x:

• dz/dx = 2x - 2y²
• d²z/dx² = 2
• Частная производная второго порядка по y:

Теперь найдем частную производную dz/dy по y:

• dz/dy = -4xy + 3y²
• d²z/dy² = -4x + 6y
• Смешанная производная:

Теперь найдем смешанную производную d²z/dxdy:

• Начнем с dz/dy = -4xy + 3y²
• Теперь найдем производную по x:
• d²z/dxdy = -4y
• Смешанная производная:

Теперь найдем смешанную производную d²z/dydx:

• Начнем с dz/dx = 2x - 2y²
• Теперь найдем производную по y:
• d²z/dydx = -4y

Итак, мы получили следующие частные производные второго порядка:

• d²z/dx² = 2
• d²z/dy² = -4x + 6y
• d²z/dxdy = -4y
• d²z/dydx = -4y