Для нахождения частных производных функции трех переменных, давайте рассмотрим функцию вида:

f(x, y, z)

Частные производные этой функции по каждой из переменных (x, y и z) находят следующим образом:

1. Частная производная по x: Обозначается как ∂f/∂x. Для её нахождения мы фиксируем переменные y и z, а затем вычисляем производную функции f по x. Это означает, что мы рассматриваем, как изменяется функция f при изменении x, оставляя y и z неизменными.
2. Частная производная по y: Обозначается как ∂f/∂y. Здесь мы фиксируем переменные x и z, и вычисляем производную функции f по y. Это показывает, как изменяется функция f при изменении y, при фиксированных x и z.
3. Частная производная по z: Обозначается как ∂f/∂z. В этом случае мы фиксируем переменные x и y, и вычисляем производную функции f по z. Это показывает, как изменяется функция f при изменении z, оставляя x и y неизменными.

Теперь давайте рассмотрим конкретный пример для лучшего понимания. Пусть:

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

Теперь найдем частные производные:

1. Для ∂f/∂x:
• Мы фиксируем y и z, и вычисляем производную по x:
• ∂f/∂x = 2x.
2. Для ∂f/∂y:
• Мы фиксируем x и z, и вычисляем производную по y:
• ∂f/∂y = 2y.
3. Для ∂f/∂z:
• Мы фиксируем x и y, и вычисляем производную по z:
• ∂f/∂z = 2z.

Таким образом, частные производные функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 равны:

• ∂f/∂x = 2x
• ∂f/∂y = 2y
• ∂f/∂z = 2z

Если у вас есть конкретная функция, по которой нужно найти частные производные, пожалуйста, предоставьте её, и я помогу вам с решением!