Чтобы найти частные производные функции трех переменных z = (t⁴ + 3x²) ⋅ cos(y),мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте рассмотрим каждый шаг отдельно.

1. Находим частную производную z по x (∂z/∂x):

• Функция z зависит от x через выражение (t⁴ + 3x²).
• Применяем правило производной для произведения: если u = (t⁴ + 3x²) и v = cos(y),то ∂z/∂x = u'v + uv'.
• Находим u' = ∂(t⁴ + 3x²)/∂x = 6x.
• Так как v = cos(y),то v' = 0 (поскольку y не зависит от x).
• Теперь подставляем: ∂z/∂x = (6x) * cos(y) + (t⁴ + 3x²) * 0 = 6x * cos(y).

2. Находим частную производную z по y (∂z/∂y):

• Функция z зависит от y через cos(y).
• Используем то же правило производной для произведения: ∂z/∂y = u'v + uv'.
• Находим v' = ∂(cos(y))/∂y = -sin(y).
• u остается без изменений: u = (t⁴ + 3x²).
• Теперь подставляем: ∂z/∂y = (t⁴ + 3x²)(-sin(y)) + 0 = -(t⁴ + 3x²) * sin(y).

3. Находим частную производную z по t (∂z/∂t):

• Функция z зависит от t через t⁴.
• Здесь также применяем правило производной для произведения: ∂z/∂t = u'v + uv'.
• Находим u' = ∂(t⁴ + 3x²)/∂t = 4t³ (только t⁴ зависит от t).
• v остается без изменений: v = cos(y).
• Теперь подставляем: ∂z/∂t = (4t³) * cos(y) + 0 = 4t³ * cos(y).

Теперь у нас есть все частные производные:

• ∂z/∂x = 6x * cos(y)
• ∂z/∂y = -(t⁴ + 3x²) * sin(y)
• ∂z/∂t = 4t³ * cos(y)

Таким образом, мы нашли частные производные функции z по переменным x, y и t.