Для нахождения частных производных функции двух переменных z = x * e^y + y * e^x мы будем дифференцировать функцию по каждой переменной отдельно, рассматривая другую переменную как константу.

1. Найдем частную производную по x, обозначаемую как ∂z/∂x:
   • Рассматриваем y как константу.
   • Функция z = x * e^y + y * e^x состоит из двух слагаемых: x * e^y и y * e^x.
   • Для первого слагаемого, x * e^y, производная по x равна e^y, так как e^y является константой, а производная x по x равна 1.
   • Для второго слагаемого, y * e^x, производная по x равна y * e^x, так как производная e^x по x равна e^x, а y является константой.
   • Таким образом, частная производная по x будет: ∂z/∂x = e^y + y * e^x.
2. Найдем частную производную по y, обозначаемую как ∂z/∂y:
   • Рассматриваем x как константу.
   • Функция z = x * e^y + y * e^x состоит из двух слагаемых: x * e^y и y * e^x.
   • Для первого слагаемого, x * e^y, производная по y равна x * e^y, так как производная e^y по y равна e^y, а x является константой.
   • Для второго слагаемого, y * e^x, производная по y равна e^x, так как e^x является константой, а производная y по y равна 1.
   • Таким образом, частная производная по y будет: ∂z/∂y = x * e^y + e^x.

Итак, частные производные функции z = x * e^y + y * e^x следующие:

• ∂z/∂x = e^y + y * e^x
• ∂z/∂y = x * e^y + e^x