Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение

​​

Другие предметы Университет Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение уравнение второго порядка решение дифференциального уравнения математика университет y''-4y'+5y=0 математический анализ Дифференциальные уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка вида y'' - 4y' + 5y = 0, мы используем метод поиска общего решения для однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Шаги решения:

1. Характеристическое уравнение:
   • Сначала составим характеристическое уравнение, заменив производные на степени переменной m: m^2 - 4m + 5 = 0.
2. Решение характеристического уравнения:
   • Решаем квадратное уравнение m^2 - 4m + 5 = 0. Для этого используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*5 = 16 - 20 = -4.
   • Так как дискриминант меньше нуля, корни будут комплексными.
   • Вычисляем корни: m = (4 ± √(-4)) / 2 = (4 ± 2i) / 2 = 2 ± i.
3. Общее решение:
   • Корни m = 2 ± i указывают на то, что решение будет в форме комплексных экспонент.
   • Общая формула решения для комплексных корней вида α ± βi: y(x) = e^(αx) * (C1 * cos(βx) + C2 * sin(βx)).
   • В нашем случае α = 2 и β = 1, поэтому общее решение будет: y(x) = e^(2x) * (C1 * cos(x) + C2 * sin(x)).

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения: y(x) = e^(2x) * (C1 * cos(x) + C2 * sin(x)), где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, если они заданы.