Похожие вопросы
2025-03-07 06:13:47
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0. Решите это уравнение
- y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
- y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
- y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Другие предметы Университет Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение уравнение второго порядка решение дифференциального уравнения математика университет методы решения уравнений математический анализ Дифференциальные уравнения теорема о решении уравнений функции e^x константы интегрирования
2025-07-19 14:13:29
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка необходимо сначала найти его характеристическое уравнение. Давайте разберем шаги решения:
-
Составление характеристического уравнения:
- Дано уравнение: y'' - 4y' + 5y = 0.
- Характеристическое уравнение имеет вид: r² - 4r + 5 = 0.
-
Решение характеристического уравнения:
- Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: D = b² - 4ac.
- В нашем случае: a = 1, b = -4, c = 5, следовательно, D = (-4)² - 4*1*5 = 16 - 20 = -4.
- Так как дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни.
- Формула для нахождения корней: r = (-b ± √D) / 2a.
- Подставляем наши значения: r₁,₂ = (4 ± √(-4)) / 2 = 2 ± i.
-
Нахождение общего решения:
- Корни комплексные: r₁ = 2 + i и r₂ = 2 - i.
- Общее решение для комплексных корней имеет вид: y = e^(αx) (c₁ cos(βx) + c₂ sin(βx)), где α = 2 и β = 1.
- Таким образом, общее решение: y = e^(2x) (c₁ cos(x) + c₂ sin(x)).
Теперь сравним это общее решение с предложенными вариантами:
- y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
- y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
- y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Ни один из предложенных вариантов не соответствует общему решению, полученному нами. Вероятно, в предложенных вариантах допущена ошибка. Правильное решение должно иметь вид: y = e^(2x) (c₁ cos(x) + c₂ sin(x)).
