Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y' + 5y = 0, мы используем метод характеристического уравнения. Давайте разберем шаги решения:

1. Составление характеристического уравнения:

   Для уравнения вида ay'' + by' + cy = 0, характеристическое уравнение имеет вид ar^2 + br + c = 0. В нашем случае:

   • a = 1, b = -4, c = 5

   Характеристическое уравнение будет:

   r^2 - 4r + 5 = 0

2. Решение характеристического уравнения:

   Для решения квадратного уравнения r^2 - 4r + 5 = 0, используем формулу для корней квадратного уравнения:

   r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   Подставляем наши коэффициенты:

   • b = -4, a = 1, c = 5

   Находим дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*5 = 16 - 20 = -4

   Поскольку дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни.

   Вычислим корни:

   r = (4 ± √(-4)) / 2

   Это дает:

   r = (4 ± 2i) / 2

   Таким образом, корни:

   r1 = 2 + i, r2 = 2 - i

3. Запись общего решения:

   Для комплексных корней вида α ± βi, общее решение уравнения имеет вид:

   y(t) = e^(αt) (C1 cos(βt) + C2 sin(βt))

   В нашем случае, α = 2 и β = 1. Поэтому общее решение будет:

   y(t) = e^(2t) (C1 cos(t) + C2 sin(t))

Таким образом, общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка: y(t) = e^(2t) (C1 cos(t) + C2 sin(t)), где C1 и C2 — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий, если они заданы.