Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение

Другие предметы Университет Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение решение уравнения математика университет дифференциальные уравнения второго порядка y''-4y'+5y=0 Новый

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y' + 5y = 0, мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаги решения:

1. Запишем характеристическое уравнение. Для данного уравнения характеристическое уравнение имеет вид:
• r² - 4r + 5 = 0
2. Найдем корни характеристического уравнения. Используем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4
3. Так как дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни. Находим корни:
• r = (4 ± √(-4)) / 2 = (4 ± 2i) / 2 = 2 ± i
4. Запишем общее решение уравнения. Если корни имеют вид a ± bi, то общее решение имеет вид:
• y(t) = e^(at) * (C1 * cos(bt) + C2 * sin(bt)),
• где C1 и C2 - произвольные постоянные, a = 2, b = 1.
5. Подставим значения a и b в общее решение:
• y(t) = e^(2t) * (C1 * cos(t) + C2 * sin(t)).

Таким образом, общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

y(t) = e^(2t) * (C1 * cos(t) + C2 * sin(t)),

где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются из начальных условий, если они заданы.