Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида \( y'' + y' - 2y = 0 \), мы используем метод поиска решения в виде экспоненциальной функции. Это стандартный подход для линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Шаги решения:

1. Предположим, что решение имеет вид: \( y = e^{rt} \), где \( r \) - неизвестная константа, которую нужно определить.
2. Вычисляем производные:
   • Первая производная: \( y' = re^{rt} \)
   • Вторая производная: \( y'' = r^2e^{rt} \)
3. Подставляем \( y \), \( y' \), и \( y'' \) в исходное уравнение:
   • \( r^2e^{rt} + re^{rt} - 2e^{rt} = 0 \)
4. Вынесем \( e^{rt} \) за скобки:
   • \( e^{rt}(r^2 + r - 2) = 0 \)
5. Решаем уравнение характеристического многочлена: \( r^2 + r - 2 = 0 \).
6. Находим корни квадратного уравнения:
   • Используем формулу корней квадратного уравнения: \( r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \).
   • В нашем случае: \( r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \).
   • Получаем корни: \( r_1 = 1 \) и \( r_2 = -2 \).
7. Записываем общее решение дифференциального уравнения:
   • Общее решение имеет вид: \( y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} \), где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы.
   • Подставляем найденные корни: \( y = C_1e^{t} + C_2e^{-2t} \).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения \( y'' + y' - 2y = 0 \) имеет вид:

y = C_1e^{t} + C_2e^{-2t}

Где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы, которые определяются из начальных условий задачи, если они заданы.