Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка вида y'' - 4y' + 5y = 0, мы используем метод характеристического уравнения. Этот метод позволяет найти общее решение для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Шаги решения:

1. Составляем характеристическое уравнение:
• Для уравнения y'' - 4y' + 5y = 0 характеристическое уравнение имеет вид: r² - 4r + 5 = 0.
2. Решаем характеристическое уравнение:
• Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = 5.
• Вычисляем дискриминант: D = (-4)² - 4*1*5 = 16 - 20 = -4.
• Так как дискриминант отрицательный (D < 0), у нас есть комплексные корни. Корни будут иметь вид: r = α ± βi.
• Находим корни: r = (4 ± √(-4)) / 2 = 2 ± i.
3. Записываем общее решение уравнения:
• Для комплексных корней вида r = α ± βi, общее решение имеет вид: y = e^(αx) (c₁cos(βx) + c₂sin(βx)).
• В данном случае, α = 2 и β = 1, следовательно, общее решение будет: y = e^(2x) (c₁cos(x) + c₂sin(x)).

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: y = c₁e^(2x)cos(x) + c₂e^(2x)sin(x).