Похожие вопросы
2025-09-15 19:40:51
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0. Решите это уравнение.
- y = c₁e²ˣcos5x + c₂e²ˣsin5x.
- y = c₁e²ˣcos3x + c₂e²ˣsin3x.
- y = c₁e²ˣcos2x + c₂e²ˣsin2x.
Другие предметы Университет Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение математика университет решение уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения уравнений функции и производные c₁ и c₂ константы cos и sin функции применение дифференциальных уравнений
2025-09-15 19:41:05
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y' + 5y = 0, нам нужно выполнить несколько шагов.
- Запишем характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:
r² - 4r + 5 = 0
- Решим характеристическое уравнение:
Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней:
r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 5.
- Подставляем значения:
- r = (4 ± √((-4)² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1)
- r = (4 ± √(16 - 20)) / 2
- r = (4 ± √(-4)) / 2
- r = (4 ± 2i) / 2
- r = 2 ± i
- Записываем общее решение:
Так как у нас есть комплексные корни (2 ± i), общее решение будет иметь следующий вид:
y(x) = e^(αx)(c₁cos(βx) + c₂sin(βx)),
где α - действительная часть корня, β - мнимая часть корня.
В нашем случае α = 2, β = 1.
Таким образом, общее решение будет:
y(x) = e^(2x)(c₁cos(x) + c₂sin(x)).
Таким образом, мы пришли к решению данного дифференциального уравнения. Обратите внимание, что в предложенных вариантах ответов, ни один из них не является корректным, так как в решении присутствует cos(x) и sin(x), а не cos(5x) или другие множители.