Похожие вопросы
2025-08-25 00:31:58
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''+y'-2y=0. Приведите решение данного уравнения.
- y=c₁⋅eˣ+c₂⋅e⁻²ˣ.
- y=c₁⋅eˣ+2c₂⋅e⁻²ˣ.
- y=2c₁⋅eˣ+c₂2e⁻²ˣ.
Другие предметы Университет Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение высшая математика решение уравнения Дифференциальные уравнения университетская математика математический анализ методы решения второй порядок математические модели студенческие задачи Новый
2025-08-25 00:32:08
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как:
y'' + y' - 2y = 0
мы будем использовать метод характеристического уравнения. Первым шагом является нахождение характеристического уравнения, которое получается заменой y на e^(rx), где r - это корень характеристического уравнения. Подставим:
y = e^(rx) ⇒ y' = r * e^(rx), y'' = r² * e^(rx)
Теперь подставим y, y' и y'' в наше уравнение:
r² * e^(rx) + r * e^(rx) - 2 * e^(rx) = 0
Мы можем вынести e^(rx) за скобки, так как оно не равно нулю:
e^(rx) * (r² + r - 2) = 0
Теперь решим характеристическое уравнение:
r² + r - 2 = 0
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой корней:
r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
где a = 1, b = 1, c = -2. Подставим значения:
- b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
- √(9) = 3
- r = (-1 ± 3) / 2
Теперь найдём два корня:
- r₁ = (2) / 2 = 1
- r₂ = (-4) / 2 = -2
Таким образом, у нас есть два различных корня r₁ = 1 и r₂ = -2. Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:
y(x) = c₁ * e^(r₁ * x) + c₂ * e^(r₂ * x)
Подставим найденные корни:
y(x) = c₁ * e^(1 * x) + c₂ * e^(-2 * x)
Итак, общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка:
y(x) = c₁ * e^x + c₂ * e^(-2x)
Теперь давайте рассмотрим предложенные варианты решения:
- y = c₁ * e^x + c₂ * e^(-2x) - это правильный ответ.
- y = c₁ * e^x + 2c₂ * e^(-2x) - это неверно, так как 2c₂ не является частью общего решения.
- y = 2c₁ * e^x + c₂ * 2e^(-2x) - также неверно по той же причине.
Таким образом, правильное решение уравнения:
y = c₁ * e^x + c₂ * e^(-2x)
