Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Другие предметы Университет Дифференциальное исчисление дифференциал функции определение дифференциала геометрический смысл инвариантность формы дифференциал первого порядка математический анализ университетская математика свойства дифференциала доказательство в математике анализ функций Новый

Определение дифференциала функции

Дифференциал функции в точке – это линейное приближение изменения функции при малом изменении аргумента. Если у нас есть функция f(x), то её дифференциал df в точке x0 можно выразить как:

df = f'(x0) * dx,

где f'(x0) – это производная функции f в точке x0, а dx – это бесконечно малое изменение переменной x.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции представляет собой угол наклона касательной к графику функции в данной точке. Если мы рассматриваем график функции, то касательная линия в точке (x0, f(x0)) имеет угловой коэффициент, равный производной f'(x0). Таким образом, изменение функции f при малом изменении x можно приближенно представить с помощью уравнения касательной:

y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0).

Доказательство инвариантности формы дифференциала первого порядка

Инвариантность формы дифференциала первого порядка означает, что при изменении переменной x на некоторую другую переменную y, форма дифференциала сохраняется. Рассмотрим функцию f(x) и заменим x на y через некоторую дифференцируемую функцию g(t), то есть x = g(t). Тогда дифференциал функции f можно записать как:

1. Сначала найдем производную g(t): dg = g'(t) * dt.
2. Теперь применим правило цепочки для нахождения дифференциала функции f(g(t)): df = f'(g(t)) * dg.
3. Подставляем выражение для dg: df = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала сохраняется, и мы можем записать:

df = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Это показывает, что независимо от того, как мы меняем переменную (например, через другую функцию g), форма дифференциала остается инвариантной, так как она всегда может быть выражена в виде произведения производной функции и дифференциала новой переменной.

Таким образом, мы доказали инвариантность формы дифференциала первого порядка.