Определение дифференциала функции

Дифференциал функции в точке – это линейное приближение изменения функции при малом изменении аргумента. Если у нас есть функция f(x),то её дифференциал df в точке x0 можно выразить как:

df = f'(x0) * dx,

где f'(x0) – это производная функции f в точке x0, а dx – это бесконечно малое изменение переменной x.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции представляет собой угол наклона касательной к графику функции в данной точке. Если мы рассматриваем график функции, то касательная линия в точке (x0, f(x0)) имеет угловой коэффициент, равный производной f'(x0). Таким образом, изменение функции f при малом изменении x можно приближенно представить с помощью уравнения касательной:

y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0).

Доказательство инвариантности формы дифференциала первого порядка

Инвариантность формы дифференциала первого порядка означает, что при изменении переменной x на некоторую другую переменную y, форма дифференциала сохраняется. Рассмотрим функцию f(x) и заменим x на y через некоторую дифференцируемую функцию g(t),то есть x = g(t). Тогда дифференциал функции f можно записать как:

1. Сначала найдем производную g(t): dg = g'(t) * dt.
2. Теперь применим правило цепочки для нахождения дифференциала функции f(g(t)): df = f'(g(t)) * dg.
3. Подставляем выражение для dg: df = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала сохраняется, и мы можем записать:

df = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Это показывает, что независимо от того, как мы меняем переменную (например, через другую функцию g),форма дифференциала остается инвариантной, так как она всегда может быть выражена в виде произведения производной функции и дифференциала новой переменной.

Таким образом, мы доказали инвариантность формы дифференциала первого порядка.