Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Другие предметы Университет Дифференциальное исчисление дифференциал функции определение дифференциала геометрический смысл инвариантность формы дифференциал первого порядка математический анализ университетский курс свойства дифференциала доказательство теоремы анализ функций Новый

Определение дифференциала функции

Дифференциал функции – это линейное приближение изменения функции при малом изменении её аргумента. Если у нас есть функция y = f(x), то дифференциал функции обозначается как dy и определяется следующим образом:

dy = f'(x) * dx,

где f'(x) – производная функции f в точке x, а dx – малое изменение аргумента x.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции представляет собой угол наклона касательной к графику функции в точке (x, f(x)). Когда мы изменяем x на малое значение dx, то соответствующее изменение функции y можно аппроксимировать как dy. Это позволяет нам понять, как функция изменяется вблизи данной точки.

Доказательство инвариантности формы дифференциала первого порядка

Инвариантность формы дифференциала первого порядка означает, что при переходе к новым переменным форма дифференциала сохраняется. Рассмотрим функцию y = f(x) и сделаем замену переменной:

• Пусть x = g(t), где g(t) – непрерывная и дифференцируемая функция.
• Тогда дифференциал dx будет равен dg(t) = g'(t) * dt.

Теперь мы можем выразить dy через dt:

1. По определению дифференциала, имеем: dy = f'(x) * dx.
2. Подставим dx: dy = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала сохраняется:

dy = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Это означает, что при изменении переменной форма дифференциала остается аналогичной, что подтверждает инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Таким образом, мы доказали, что дифференциал функции сохраняет свою форму при переходе к другим переменным, что является важным свойством в математическом анализе.