Определение дифференциала функции

Дифференциал функции – это линейное приближение изменения функции при малом изменении её аргумента. Если у нас есть функция y = f(x),то дифференциал функции обозначается как dy и определяется следующим образом:

dy = f'(x) * dx,

где f'(x) – производная функции f в точке x, а dx – малое изменение аргумента x.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции представляет собой угол наклона касательной к графику функции в точке (x, f(x)). Когда мы изменяем x на малое значение dx, то соответствующее изменение функции y можно аппроксимировать как dy. Это позволяет нам понять, как функция изменяется вблизи данной точки.

Доказательство инвариантности формы дифференциала первого порядка

Инвариантность формы дифференциала первого порядка означает, что при переходе к новым переменным форма дифференциала сохраняется. Рассмотрим функцию y = f(x) и сделаем замену переменной:

• Пусть x = g(t),где g(t) – непрерывная и дифференцируемая функция.
• Тогда дифференциал dx будет равен dg(t) = g'(t) * dt.

Теперь мы можем выразить dy через dt:

1. По определению дифференциала, имеем: dy = f'(x) * dx.
2. Подставим dx: dy = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала сохраняется:

dy = f'(g(t)) * g'(t) * dt.

Это означает, что при изменении переменной форма дифференциала остается аналогичной, что подтверждает инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Таким образом, мы доказали, что дифференциал функции сохраняет свою форму при переходе к другим переменным, что является важным свойством в математическом анализе.