Док-ать что любое ур-е 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскостьюПонятие нормального вектора плоскости. Вывод ур-я плоскости проходящей через 3 точки и ур-е в отрезках.

Другие предметы Университет Уравнения плоскости в пространстве линейная алгебра аналитическая геометрия уравнение плоскости нормальный вектор декартовы координаты плоскость в пространстве три точки уравнение прямой геометрия в университете Новый

Чтобы доказать, что любое уравнение 1-й степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскость, начнем с общего вида такого уравнения:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C и D - некоторые константы, а x, y и z - координаты точки в пространстве.

Шаг 1: Понимание уравнения

Это уравнение представляет собой линейную комбинацию координат x, y и z. Если мы изменим значения x, y и z, то уравнение будет принимать различные значения. Плоскость в пространстве - это множество точек, удовлетворяющих этому уравнению.

Шаг 2: Нормальный вектор плоскости

Нормальный вектор плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости. В нашем случае нормальный вектор можно представить как:

• n = (A, B, C).

Этот вектор указывает направление, перпендикулярное плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Шаг 3: Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки

Допустим, у нас есть три точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3). Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через эти точки, мы можем использовать векторный подход:

1. Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости:
• AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),
• AC = C - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1).
2. Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов для получения нормального вектора:
• n = AB × AC.
3. Вычисляя это произведение, мы получим координаты нормального вектора (A, B, C).
4. Теперь, зная нормальный вектор и одну из точек (например, A), мы можем записать уравнение плоскости в виде:
• A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0.
5. Раскрыв скобки, мы получим уравнение плоскости в стандартной форме Ax + By + Cz + D = 0.

Шаг 4: Уравнение в отрезках

Если у нас есть отрезок, соединяющий две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то уравнение, определяющее этот отрезок, можно записать в параметрической форме:

• x = x1 + t(x2 - x1),
• y = y1 + t(y2 - y1),
• z = z1 + t(z2 - z1),

где t - параметр, принимающий значения от 0 до 1. Это уравнение определяет все точки, находящиеся на отрезке AB.

Таким образом, мы показали, что уравнение 1-й степени определяет плоскость, объяснили понятие нормального вектора и вывели уравнение плоскости, проходящей через три точки, а также уравнение отрезка.