Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Другие предметы Университет Сходимость рядов достаточный признак сходимости знакочередующийся ряд признак Лейбница математический анализ университет сходимость рядов теория рядов последовательности и ряды Новый

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда, известный как признак Лейбница, позволяет определить сходимость ряда, члены которого чередуются по знаку. Рассмотрим ряд вида:

Сумма (-1)^n * a_n, где a_n > 0 для всех n и a_n - неотрицательные последовательности.

Чтобы ряд сходился, необходимо выполнить два условия:

1. Убывание членов: Последовательность a_n должна быть убывающей, т.е. a_{n+1} ≤ a_n для всех n, начиная с некоторого номера n0.
2. Предел членов: Предел a_n при n, стремящемся к бесконечности, должен равняться нулю: lim (n→∞) a_n = 0.

Если оба условия выполняются, то ряд сходится. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то ряд может расходиться. Теперь давайте рассмотрим, как это работает на практике:

Пример: Рассмотрим ряд:

Сумма (-1)^n * (1/n)

1. Проверим первое условие:

• Последовательность a_n = 1/n. Мы видим, что 1/(n+1) < 1/n для всех n ≥ 1, следовательно, последовательность убывает.

2. Проверим второе условие:

• lim (n→∞) (1/n) = 0. Это условие также выполняется.

Так как оба условия выполнены, согласно признаку Лейбница, ряд Сумма (-1)^n * (1/n) сходится.

Таким образом, признак Лейбница является мощным инструментом для анализа сходимости знакочередующихся рядов. Важно всегда проверять оба условия, чтобы сделать правильный вывод о сходимости ряда.