Чтобы исследовать данный ряд на сходимость, воспользуемся признаком Лейбница для знакопеременных рядов. Признак Лейбница утверждает, что знакопеременный ряд вида:

• a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ...

сходится, если выполняются два условия:

1. Последовательность aₙ монотонно убывает, то есть aₙ > aₙ₊₁ для всех n.
2. Предел последовательности aₙ равен нулю, то есть lim (n → ∞) aₙ = 0.

Теперь применим эти условия к нашему ряду:

Исследуем последовательность aₙ = (2n + 3) / n:

1. Монотонность. Вычислим разность aₙ и aₙ₊₁:

• aₙ = (2n + 3) / n
• aₙ₊₁ = (2(n+1) + 3) / (n+1) = (2n + 5) / (n+1)
• Разность: aₙ - aₙ₊₁ = (2n + 3) / n - (2n + 5) / (n+1)

Приведем к общему знаменателю:

• aₙ - aₙ₊₁ = [(2n + 3)(n+1) - (2n + 5)n] / [n(n+1)]
• = [(2n² + 2n + 3n + 3) - (2n² + 5n)] / [n(n+1)]
• = [5n + 3 - 5n] / [n(n+1)] = 3 / [n(n+1)]

Поскольку 3 / [n(n+1)] > 0 для всех n > 0, то последовательность aₙ действительно монотонно убывает.

2. Предел. Найдем предел aₙ при n → ∞:

• lim (n → ∞) aₙ = lim (n → ∞) (2n + 3) / n = lim (n → ∞) (2 + 3/n) = 2

Поскольку предел последовательности aₙ равен 2, а не 0, то второй критерий признака Лейбница не выполняется.

Следовательно, данный ряд не сходится.