Верно ли, что знакочередующийся числовой ряд всегда сходится?

• нет
• да

Другие предметы Университет Сходимость рядов математический анализ знакочередующийся ряд сходимость рядов университетская математика свойства рядов теорема о знаках числовые ряды анализ сходимости математический анализ университет курсы математического анализа Новый

Нет, это утверждение неверно. Знакочередующийся числовой ряд не всегда сходится. Давайте рассмотрим это более подробно.

Знакочередующийся ряд — это ряд, в котором члены поочередно имеют разные знаки. Например, ряд вида:

• a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...

Для того чтобы определить, сходится ли знакочередующийся ряд, мы можем использовать критерий Лейбница. Этот критерий утверждает, что знакочередующийся ряд сходится, если выполняются следующие условия:

1. Члены ряда по модулю убывают: |a(n)| > |a(n+1)| для всех n.
2. Члены ряда стремятся к нулю: lim (n→∞) a(n) = 0.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ряд может не сходиться. Рассмотрим пример:

• Ряд: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Этот ряд не сходится, так как его частичные суммы колеблются между 0 и 1. Таким образом, мы видим, что знакочередующийся ряд может не сходиться.

В заключение, можно сказать, что знакочередующийся числовой ряд не всегда сходится, и для проверки его сходимости необходимо использовать критерии, такие как критерий Лейбница.