Исследуйте ряд на сходимость 1 / 3 - 1 / 4 + 1 / 5 - 1 / 6 + … + (-1)ⁿ⁺¹ 1 / (n + 2) + ...

Другие предметы Университет Сходимость рядов математический анализ ряд на сходимость исследование ряда университет анализ числовых рядов математические методы последовательности и ряды Новый

Давайте исследуем ряд, заданный в виде:

S = 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + (-1)^(n+1) / (n + 2) + ...

Этот ряд является знаковым, и мы можем представить его в виде:

S = Σ (-1)^(n+1) / (n + 2), n = 1, 2, 3, ...

Для исследования сходимости этого ряда мы можем воспользоваться критерием Лейбница, который утверждает, что ряд вида Σ (-1)^(n) a_n сходится, если выполняются следующие условия:

• a_n > 0 для всех n;
• a_n монотонно убывает;
• lim (n→∞) a_n = 0.

В нашем случае:

a_n = 1 / (n + 2)

Теперь проверим условия критерия Лейбница:

1. a_n > 0: Для всех n, a_n = 1 / (n + 2) > 0, так как n + 2 всегда положительно.
2. Монотонность: Рассмотрим a_n и a_(n+1):
• a_n = 1 / (n + 2)
• a_(n+1) = 1 / (n + 3)
• Сравнивая их, мы видим, что 1 / (n + 2) > 1 / (n + 3), что означает, что a_n > a_(n+1). Таким образом, a_n монотонно убывает.
3. lim (n→∞) a_n = 0: Предел a_n при n стремящемся к бесконечности:
• lim (n→∞) 1 / (n + 2) = 0.

Все условия критерия Лейбница выполнены, следовательно, ряд S сходится.

Ответ: Ряд 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... сходится.