Исследуйте ряд на сходимость 5 / 1 – 7 / 2 + 9 / 3 - … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ (2n + 3) / n + ...

• расходится
• абсолютно сходится
• условно сходится
• сходится

Другие предметы Университет Сходимость рядов ряд на сходимость высшая математика университет абсолютная сходимость условная сходимость математический анализ последовательности и ряды теоремы о сходимости Новый

Давайте исследуем данный ряд на сходимость. Мы имеем ряд:

S = 5 / 1 - 7 / 2 + 9 / 3 - ... + (-1)^(n+1) * (2n + 3) / n + ...

Чтобы понять, сходится ли этот ряд, мы можем использовать признак Лейбница для рядов с чередующимися знаками. Признак Лейбница гласит, что ряд вида:

S = Σ (-1)^(n) * a_n

сходится, если:

1. Последовательность a_n неотрицательна: a_n ≥ 0.
2. Последовательность a_n убывает: a_n+1 ≤ a_n для всех n.
3. Предел a_n при n стремящемся к бесконечности равен нулю: lim (n→∞) a_n = 0.

В нашем случае:

a_n = (2n + 3) / n

Теперь проверим условия:

1. Неотрицательность: a_n = (2n + 3) / n = 2 + 3/n. Эта функция всегда положительна для n > 0.
2. Убывание: Проверим, убывает ли последовательность a_n. Для этого найдем a_n+1:
• a_n+1 = (2(n+1) + 3) / (n + 1) = (2n + 2 + 3) / (n + 1) = (2n + 5) / (n + 1).
3. Теперь сравним a_n и a_n+1:
• a_n+1 < a_n, если (2n + 5) / (n + 1) < (2n + 3) / n.
• Это не всегда выполняется, следовательно, последовательность не убывает.
4. Предел: Найдем предел a_n:
• lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) (2 + 3/n) = 2.

Так как последовательность a_n не убывает и предел не равен нулю, ряд не удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Теперь проанализируем абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд:

Σ |a_n| = Σ (2n + 3) / n = Σ (2 + 3/n).

Этот ряд можно разбить на два отдельных ряда:

Σ 2 + Σ 3/n.

Первый ряд Σ 2 расходится, так как это бесконечная сумма постоянного положительного числа. Второй ряд Σ 3/n также расходится, так как это гармонический ряд.

Таким образом, ряд не сходится абсолютно, и не сходится условно.

Вывод: Ряд расходится.