Исследовать сходимость следующих рядов: ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n), n=1..∞

• Сходится
• Расходится
• Одновременно сходится и расходится

Другие предметы Университет Сходимость рядов высшая математика университет сходимость рядов ряд сходимость математический анализ ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n) тесты на сходимость математические ряды анализ рядов учебные задания высшая математика Новый

Для исследования сходимости ряда ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n) мы будем использовать критерий сравнения и критерий Даламбера (критерий ratio).

Шаг 1: Анализ общего члена ряда

Рассмотрим общий член ряда:

a_n = (4n - 3) / √(n * 3^n).

Для больших n, член (4n - 3) можно приблизить к 4n, а √(n * 3^n) можно записать как √n * 3^(n/2). Тогда:

a_n ≈ 4n / (√n * 3^(n/2)) = 4√n / 3^(n/2).

Шаг 2: Применим критерий Даламбера

Теперь найдем предел:

lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n|.

Сначала найдем a_(n+1):

a_(n+1) = (4(n + 1) - 3) / √((n + 1) * 3^(n + 1)) = (4n + 1) / (√(n + 1) * 3 * 3^(n/2)).

Теперь вычислим a_(n+1) / a_n:

a_(n+1) / a_n = [(4n + 1) / (√(n + 1) * 3 * 3^(n/2))] / [(4n - 3) / (√(n * 3^n))].

Упрощая, получаем:

a_(n+1) / a_n = [(4n + 1) * √n] / [(4n - 3) * √(n + 1) * 3].

Шаг 3: Найдем предел

Теперь найдем предел:

• lim (n→∞) |(4n + 1) * √n / [(4n - 3) * √(n + 1) * 3]|.

Для больших n, √(n + 1) ≈ √n, и у нас остается:

• lim (n→∞) |(4n + 1) / (4n - 3) * 1 / 3| = lim (n→∞) |(4 + 1/n) / (4 - 3/n) * 1 / 3| = (4/4) * (1/3) = 1/3.

Шаг 4: Применение критерия

Так как предел равен 1/3, который меньше 1, по критерию Даламбера ряд сходится.

Ответ: Ряд ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n) сходится.