Функции y_1 = y_1(x) и y_2 = y_2(x) называются линейно независимыми на интервале (a, b), если равенство α1y1 + α2y2 = 0 выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты α1 = α2 = 0.

Давайте разберем это понятие более подробно:

1. Линейная комбинация: Рассматривается выражение α1y1 + α2y2, которое называется линейной комбинацией функций y_1 и y_2. Здесь α1 и α2 — произвольные числа (коэффициенты).
2. Нулевое равенство: Мы говорим, что линейная комбинация равна нулю, если α1y1 + α2y2 = 0 для всех значений x из интервала (a, b).
3. Линейная независимость: Функции y_1 и y_2 считаются линейно независимыми, если единственное решение уравнения α1y1 + α2y2 = 0 — это α1 = 0 и α2 = 0. Это означает, что никакая ненулевая линейная комбинация этих функций не может равняться нулю.
4. Пример: Рассмотрим функции y_1(x) = x и y_2(x) = x^2. Если мы попробуем найти такие α1 и α2, чтобы α1x + α2x^2 = 0 для всех x, то единственное решение будет α1 = 0 и α2 = 0. Таким образом, функции y_1 и y_2 линейно независимы.

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять, что такое линейная независимость функций на интервале.